两动一定最小值问题的方法5篇两动一定最小值问题的方法 三动点三角形周长最小值问题探索■王震伟作者简介:王震伟(1978－)，男，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究摘要:近年来，最下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题的方法5篇,供大家参考。
篇一：两动一定最小值问题的方法
点三角形周长最小值问题探索■ 王震伟作者简介:王震伟(1978 －)，男，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究摘要:近年来，最值问题频繁出现在中考压轴题中． 在初中阶段，最值问题一直是个难点也是一个重点，它要求学生具有很强的问题分析能力与综合运用数学知识、数学思想方法解决问题的能力． 本文根据2015 年沈阳市中考题中的压轴最值问题，结合自己的理解，对这类最值问题的解题教学进行了深入的探究．关键词:压轴;最值;动点;浅入深出一、试题展示及解答题目:(2015 年沈阳中考第 25 题)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y = －23x 2 －43x +2 与x轴交于B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D．(1)填空:点 A 的坐标为( ，)，点B 的坐标为( ， )，点C 的坐标为 ( ，)，点 D 的 坐 标 为 (， )．(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B、C 重合)① 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE =PC，求点 E 的坐标;② 在 ① 的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出线段 EF 的长;③ 若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点Ｒ是线段AC上的动点(点Ｒ不与点A、C重合)，请直接写出 △PQＲ 周长的最小值．原题解答:(摘自网络)这里我们重点研究最后一小问．答案:(1)0、2，－3、0，1、0，－1、83;(2)①E(－32，图 1图 252);②32或52;③槡32 6565．对于最后一小问，网上给出的解答如下． 根据题意:当 △PQＲ 为 △ABC 的垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小，如图2，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于点Q，交 AC 于 Ｒ，此时 △PQＲ 的周长 PQ + QＲ + PＲ =EF，因为 A(0，2)，B(－ 3，0)，C(1，0)，所以 AB =2 2 + 3槡2=槡 13，AC =1 2 + 2槡2= 槡 5，因为S △AOB =12×12OE × AB =12OA × OB，所以 OE =12槡 13，因为△OEM ∽ △ABO，所以 OMOA=EMOB=OEAB，即OM2=EM3=12槡 13槡 13，所以 OM =2413 ，EM =3613 ，所以 E(－2413 ，3613 )，同理求得 F(85，45)，即 △PQＲ 的最小值为 EF =(85+2413 )2+ (3613－45)槡2=槡32 6565．二、究问题之本 研解题之道上述问题是 2015 年沈阳中考的压轴题，做了以后感觉这个问题内涵丰富，值得研究，从而使得笔者对这一类问题有了更深的理解． 不管是学生还是老师，笔者· 5 ·认为拿到这个题目都有点束手无策，究其原因，其表面现象由三个动点求最小值，这种气势颇为吓人． 分析以后发现，对于这个问题，上面网络的解析，我感觉没能站在学生的角度分析，就算学生看了答案估计一些学生也不知所以然．“垂足三角形”这个概念不要说学生，就是没搞过奥赛的教师也许知道的也不多． 其实这个问题的本质考点是利用轴对称知识点进行转化后求最值．下面就笔者对本题的理解，结合若干小问题浅入深出的谈谈解题之道．问题1:如图3，P 为∠AOB 内部一点，试在OA，OB上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小．编制意图与简析:问题 1 比较简单，是一定两动三角形周长的最小值问题，只要化曲为直即可，所以利用对称，分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ，P 2 ，连接P 1 P 2 与 OA，OB 的交点就是 E，F． 如图 4，此时 △PEF的周长最小，最小值就是线段 P 1 P 2 的长． 编制的意图是让学生理解一定两动三角形周长最小时，E，F 确定的原理．图 3图 4问题 2:如图 5，若 ∠AOB = 45°，OP = 3，在 OA，OB 上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．编制意图与简析:在问题 1 的基础上编制的问题2，它的求解目的性比较强，就是要利用现有的边和角求出线段P 1 P 2 的长． 如图6，易得△OP 1 P 2 为等腰直角三角形，所以 P 1 P 2 =槡3 2．编制的意图是要学生理解对称的性质，对应边相等，对应角相等，从而将问题转化成求一个腰长已知的等腰直角三角形的斜边长．图 5图 6变式1:∠AOB = 45° 不变，P不是定点，是∠AOB内一动点，且 OP = 3，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?作图后易得答案仍然为槡3 2，由此可见，当 ∠AOB确定，OP 长确定，最值不变．变式2:∠AOB = 45° 不变，P 不是定点，是 ∠AOB内一动点，且 OP = a，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值． 思考，最值变吗?答案为 槡 2a，由此可见，当 ∠AOB 确定时，此问题的最值和动点 P 到 O 的距离有关，它是随 a 变而变．变式 3:OP = 3 不变，若 ∠AOB 的正切为12，在OA，OB 上各找一点，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．答案为槡6 55，由此可见，当 OP 确定时，此问题的最值和 ∠AOB 的大小有关，它是随 ∠AOB 变而变．编制意图与简析:问题 2 及其变式，是以控制变量法探究一定两动三角形的最小值问题． 通过这一系列问题的解答，可以感受到当 ∠AOB 确定，OP 确定，则P 1 P 2 就是以OP为腰，2 倍∠AOB为顶角的等腰三角形的底边长，所以 P 1 P 2 也是确定的． 这样就将一个一定两动三角形周长最小值问题转化成了解已知顶角和腰长求等腰三角形底边长的问题了．所以这类问题的最值 l 就和定角 α 及角内定点(或动点)到角的定点距离 m 有关(如图 7)． 通过研究，我们可以得到一个非常简洁的结论为l = 2sinα·m(0 ＜ α ＜ 90°)问题 3:已知如图 8，∠AOB 的正切值为34，OC =· 6 ·
图 7图 85，OD = 6，P 为线段 CD 上一动点，E、F 分别是 OA，OB的动点，求 △PEF 周长的最小值是多少?编制意图与简析:根据以上问题 1 和 2 的分析，问题 3 也就不难理解了． 本题的角是确定的，所以，OP 什么时候最小，三角形周长就什么时候最小，即当 OP 垂直于 CD 时． (解略)下面我们再看 2015 年沈阳中考最后一题的最后一问，理解后的答案为 S △PQＲ = 2BC ·sin∠ABC ·sin∠ACB = 2 × 4 ×2槡 13×2槡5=槡32 6565． 这里笔者是以 ∠ACB 为定角来研究最小值的．图 9到这读者应该还有一个疑问，为什么以 ∠ACB 为定角来研究最小?是不是该分类讨论?在不知道什么垂足三角形的前题下，应该有这个疑问． 请看图 9 证明．2AE · sin∠BAC = 2AC ·sin∠ACB·sin∠BAC = 2AB·sin∠ABC·sin∠BAC．2BD·sin∠ABC = 2AB·sin∠BAC·sin∠ABC =2BC·sin∠ACB·sin∠ABC． 2CF·sin∠ACB = 2AC·sin∠BAC·sin∠ACB = 2BC·sin∠ABC·sin∠ACB． 所以 2AE · sin∠BAC = 2BD · sin∠ABC = 2CF ·sin∠ACB． 也就是无论从哪个角思考都可以，它们的结果是一样的，所以笔者找了最好算的一个方向．三、教学启示数学中考仍是以定量评价全面考察学生数学学习全过程的重要方式． 而压轴题不仅注重考察学生对数学概念的理解，数学思想方法的掌握，而且其对数学思考深度，探究与创新的水平及应用数学解决实际问题的能力有更高要求从而发挥甄别与选拔功能． 最值问题作为压轴题一直是困扰教师和学生的难点，本文针对 2015 年沈阳中考的压轴最值问题，进行了浅入深出的分析． 将较为复杂的动点最值问题，通过理解，编制了一组问题窜，使问题变得清晰明了．综合题学生不会做的原因是知识点不熟，不会分析． 其实老师都知道一个综合题是由若干个知识点拼在一起组成的，如果在解题时哪句话没理解或哪个知识点没想起来，那么这个综合题也就卡在那了． 所以平时老师对综合题的教学绝不能就题论题，解一题是一题． 我们更应该看到问题的本质，从源头去讲解，看看这个题能不能变“个案”为“类案”，能否研究出这类题的解题通法，也就是我们老师平时常说的举一反三．“浅入深出”是笔者一直思考和实践的教学模式，这能充分调动学生学习的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力．［江苏省常州市武进区马杭初中 (213162 )］· 7 ·
篇二：两动一定最小值问题的方法
mdash;3l D 数学 数 学 2018年第 6期 圆上动点到两定点距 离线性和 的最小值 问题 于学明 李世 臣 (1．河南省商水县希望中学，河南 商水 466100； 2．河南省周口市川汇区教体局教研室，河南 周 口 466001) 设动 点 P和两定点 A、B，我们不妨称 PA+AP日为点P到两定点A、B距离的线性和．当A=1，P点在一条定直线上移动时，两 定点A、 在这条定直线的同侧 ，求PA+P 的 最小值问题是典型的将军饮马问题，通常利用 对称变换 ，将同侧化异侧 ，然后利用“两点间线 段最短”原理进行判断．
当 A≠1，P点在一个确定的圆弧上移动 时，两定点A、B同在这个定圆的内部或外部， 怎样求 PA+APB的最小值呢?研究发现，可通 过构造相似三角形 ，利用线段 比实现不等系数 线段和向相等系数线段和的转化，把同在圆内 或圆外的两定点转化为一个圆内定点和一个 圆外定点 ，然后应用线段最短原理解决问题．
例 l 如图 1，线段 AB的两端点分别在两 条坐标轴的正半轴上滑动，中点为 M，若 AB = 8，C(8，0)，D(5，4)，则 CM +2MD的最小 值为 — —． 解析：连结OM，因为 ZAOB：9oo，AM = ， AB =8，所以OM =4，点M的轨迹是以原点 0 为圆心，半径长为4的圆在第一象限内的圆弧．
在线 段 OC上 取 点 E，使 得 ／OME ：
／OCM，则 AOME— AOCM．
图 1 所以 = = ．又因为 OC =8， OM =4，所以 OE =2，MC =2ME．
因此 E(2，O)，CM +2MD = 2(ME + MD)≥ 2DE，当点 在线段 DE上时，等号 成立． 因为 DE = √(5—2) +4 =5，所以 CM +2MD的最小值为 l0．
例 2 如 图2，在矩形 ABCD中，AB =6， BC=8，以点 B为圆心 、BC为半径画圆弧 ，交 BA的延长线于点 E，点 P在弧 EC上，连结 PA， PD．
、 尸 — —
7 ～ ， ／ D 图 2 求 5PA+3PD的最小值．
解析 ：连结 P日、BD，则 P曰 ：
8，BD = 10．
在线 段 BD 上 取 点 ，，使 得 LBPF = ／ _．_BDP，连结 PF，则 ABPF ABDP．
因为嚣=器= ，所以 = ，
PD = pF． 河南省2017年农村学校应用性教育科研课题《基于Geogebra软件的数学教学实验研究》(项 目编号：17一HJYY 525)阶段性研 究成果．
2018年第 6期 数 学教 学 6—3l 在 线 段 BE 的 延 长 线 上 取 点 G，使 得 LBPG=／_BAP，连结PG，则 ABPG △ 因为 BG=B 丽P= PG， 所以曰G=了32， =
G．
N~spa+3PD=竽(PF+pc)≥竽GF，
当 G、P、F三点共线时，等号成立． ig~ CF，因为 =了3 =历 CD，LFBG = LCDB，所 以 ／XBFG一 ／XDCB．
于是 FG = DCB =90o．故 128 —
15’
9~ SPA+3PD≥ 15×百 128=32． 即，5PA+3PD的最小值是 32． 例 3 如图3，半圆oD的直径 AB =4，点 C在半圆弧上移动 ，AC：AD， CAD=90。，连 结 DO、DB，求 DB+ DD的最小值．
图 3 解析 ：连结 CD，延长 CD交QO于点 E，连 结 EO．
因为 AC =AD， CAD =90。， 所 以 LACD= ADC=45。． 因此 LAOE =90。，LADE =135。．
以AO、OE为边 ，作正方形 AOEF，则点 D 在以点 F为圆心，半径为 2的圆弧上运动．
连结船 ，则FB=√ +A =2 ．
连结 FD，在 AFBD的内部，作 LFDG = FBD，交 FB于点 G，则 △FDG △FBD． 所以D 塑 G= = ．于是 D =,／gco．
从而 D +√5D0 = √5(GD +00)≥ GO，当 G、D、0共线时，等号成立．
连结 AG，因为 FA = FD = FG ·FB， AFG = BFA，所 以 △FAG ／XFBA．
因此 LFGA = FAB =90。．于是点 G恰 好在 oO上．从而 GO=2． 故 DB+ DO的最小值是 2,8．
例 4 如图4，在边长为 2,g的等边 ／xABC 中，点 D为 AC的中点 ，动点 P在 AABC内，连 结 PA、PB、PC、PD， PAB = LPBC，求 PC+2PD的最小值． A B C 图4 解析：在 等边 AABC中，因为 LPAB = LPBC，所 以 PA + LPBA ：
PBC + 删 = LABC = 60。． LAPB = 120。．
则点 P在以 AB为弦 ，圆周角为 120。的圆 弧上．
设圆弧的圆心为 O，连结 OC，交 AB于点 E，则点 E是 AB的中点，连结 OP、OB． 因为 BC=2,／X，易知 OP：OB：2，OE= 1， OC = 4．
Y．N~uo，c= = 2， LPOC = L EOP， 所 以 ／X0CP ／x OPE．
从而 面 PC= =2， 即 Pc =2阳 ．
连结 ED，易知 ED是 AABC的中位线，所 以 2ED =BC =2 ．
从 而 PC +2PD =2(PE+肋 )≥ 2ED = 2,g，当点 P在线段 ED上时，等号成立．
即 PC+2PD的最小值是 24g． 例 5 如图 5，在 ／xABC中，
A =90。， AB =AC=4，点 D、E分别是 AB、AC的中点． 若 AADE绕点A逆时针旋转 ，得到 ／XAFG，记直 线 F与 CG的交点为P．连结PD、船 ，求PD+
6一 数学 教 学 2018年第 6期 船 的最小值． C G 图 5 解析：如图 5，在ABAF和ACAG中，因为 AB =AC，AF =AG， LBAF = 90。+ CAF = ／CAG，所 以 ABAF— t ． fa ACAG，从 而 ／_ABP = ACP． P C + PCB = (45。一 LABP) + (45。+LACP)=90。，所 以 LBPC =90。．
设 BC的 中点为 0，连结 PO，则 PO = ÷Bc=2√2．
点 P在以0为圆心、2 为半径的圆弧上． 连结 DE，则 DE=÷AB=2．
在射 线 OE 上 取 点 日，使 得 AOPE 一 oHP． 则 ：器：
，得OH：4，胁 ：
oH PH oP ’、⋯ PH．
肋 +4" 2PE =肋 +朋 ≥ DH， 当P在线段 DH上时，等号成立．
易知 DH = E +D =2 ，所 以 PD+ PE的最小值是 243． 例 6 如图6，点 P在边长为4的正方形 图 6 ABCD中，且 APBA=LPCB，点E在BC边上， BE =3EC，求 PA+2 P 的最小值．
解析 ：如图6，因为 P鲋 =LPCB，所以 PBC+LPCB=LPBC+LPBA=90。．因此 点 P在以BC为直径的圆在正方形 ABCD内的 圆弧上．
设 BC中点为 0，连结 PO，易知AO=2,3．
因为 BE =3EC，所 以 OE =1． 在 BC的延长线上 取点 G，使 AOGP oPE． 于是 ， = = ，得 DG=4，PE OP OE = J E’ 一 一PE’ l哥uu一 ’
一 2 ~--pG． 连结 AO，在 AO上取点 F，使 △OPF— A OAP． 因此 = = ，得 OF = ， PA = PF．
从而 PA +2 PE = (PF+PG)≥ FG，当点 P在线段 FG上时，等号成立． 作 朋 j- c于点日测 FH= = ， 得 FH=÷，DH= ．
因为 HG =0H +OG = ，所 以 FG = √F评 +HG =2 ． 即 PA+2,5PE的最小值等于√SFG=10．
例 7 已知 oD的半径为 a，圆外一点 A， OA = b．
(1)问题 发现 如图7(1)，过点A作o0的切线 AP，切点 为 P，过点 P作 PB J_OA于点 B．填空 ：
图 7(1)
2018年第 6期 数 学教 学 6一船 (i)OB= ；(ii) PB= (用含 a、b的代数式表示) (2)拓展探究 如图 7(2)，点 P是 6)0上任意一点 ，连结 PA、PO，在 OA上取点 ，使得 OPB = LA， 连结船 ．(1)中的结论还成立吗?请说明理由． 图 7(3) 解析：(1)(i
a，(ii)詈．
(2)成立．因为 OPB=LA，LPOB = LAOP，所 以 APOB— AAOP． 因此 PB = OB = OP， 即 PB ：
OB = a．从 2 a 而 OB = a， PB=
． (3)6 ，P(1(5—2-)，丢(5一 ))．
提示 ：如图 8，易知 C(2，3)．在 CB上取 点 D，使 CPD= CBP，则 APCD ABCP． ‘H CD CP PD 』 一 一 一
CP — CB — PB‘ 所 以 CD = 1，PB =2PD．
图 8 因此 D(3，3)，OD =3 ． 2PO+P =2(PO+肋 )≥20D=6]2， 当点 P在线段 OD上时，等号成立．此时 ，设点 P(m，m)．
由勾股定理 ，得 (2一m) +(3一m) ：
2 ，即 2m 一lOm +9：0． 解得m=÷(5—2 -)，另一解m=÷(5+ )，不符合要求舍去．
所以，此时有P(1(5—2 -)，
(5一 )1．
例 8 如图9，弧 AB和弧 CD以LMON的 顶点 0为圆心 ，端点在角的两条边上 ，动点 G、 日分别在两条弧上 ，且直线 GH经过顶点 0，点 E、F为 两 边 上 的定 点．若 LMON =45。， OA=4，OC =6，OE =8，OF =2 ，求 HE+2 FG的最小值． D R A C E M 图 9 解析：在 OM 边 上取点 R，使 AOEH — AOGR，则 HE = OH = OE． 因为 OG=OA=4，OH=OC=6，OE= 8，所 以 OR =3，HE =2GR．
6一, 34 ／K- " 3"教学 2018年第 6期 在 ON边上取点 s，使 AOFG AOGS，则 FG 0G OF FG 4 2,／2 GS — OS — OG’ GS — OS 一 4 ‘ 因此 OS=4 ，GF = GJ s． 则 HE+24" 2FG=2GR+2 ×等GS =2(GR+G| s)≥ 2RS，
当点 G在线段 RS上时，等号成立．
因为 ／MON=45。，所以R． s=~／l +4 = ． 即HE+24YFG的最小值为2 l7．
以上 各 例 涉 及 到 一 个 重 要 的几 何 问 题——阿波罗尼斯 圆．AB为平面内的定长线 段 ，尸为一个动点 ，满足 两 PA =A(A≠ 1)， 则点 P的轨迹是一个圆．这个圆直径的两端是按定 比A内分 AB和外分 AB所得的两个分点．如图 lO，M为 AB的内分点，』、r为 AB的外分点．若 A M= =A(A≠1)，则以删 为直径的 oD 就是动点 P的轨迹． 图 10 这是著名的阿波罗尼斯 (Apollonius)轨迹 定理．以 MN为直径的o0叫做阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆．阿氏圆有如下性质：
在线段 AB关于定 比A(A≠ 1)的阿氏圆 上任意一点 ，到A、B两点距离的比都等于定比 A．即若点 P在阿氏圆上，则 =A．此时，必有 J P 平分 ／_APB、PⅣ平分 ／ ___APB的外角． 阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定理是 一 组互逆命题，其两大特征是：A M = = PA= = OP和 上 PⅣ．
、 曰、 、Ⅳ为以点 A、 为基点 ，点 M、 Ⅳ为内、外分点，A为分比的调和点列．
阿波罗尼斯定理为解决 +AP 的最小 值问题提供 了依据和方法，当我们遇到 + AP 型问题的时候，首先探寻动点 P的轨迹， 若点 P的轨迹是圆就把它作为阿氏圆，确定半 径 r和圆心 0．
若 OA =AOP，在直线 探究点 A ，使 AOPA AOA P测 = PA = ∽ ，则 A，得 APA ，所 以 PA+APB=A( +朋 )≥AA B； 若 OP =AOB，在直线 OB探究点 ，使 P AOPB AOB P测 = =÷：
∽ ，则 ，得船 ÷PB ，既＼ PA+ PB=PA+PB ≥AB r． 需注意的是，模型 PA+APB中的常数A的 值不是任意确定 的，它必须满足 =A或 OB= 1方可应用以上方法求解， 这种局 限性 更充分说明阿波罗尼斯轨迹定理的美妙之极．
参考文献 [1]陈明儒．构造三角形模型求解线段最 值难题[J]．中学数学杂志，2016(4)：44—45．
[2]李发勇．探究“a+硒 型”线段和最小 值问题[J]．中学数学教学 ，2017(3)：55—57．
[3]黄全福．利用阿波罗尼斯圆解竞赛题 [J]．中等数学，2010(2)：5—9．
篇三：两动一定最小值问题的方法
常见动点问题解题方法引言
以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.
常见的动点问题
一、求最值问题
二、动点构成特殊图形问题
一、 求最值问题
初中 利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
（1）两点之间线段最短；
（2）三角形两边之和大于第三边；
（3）垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
一、 求最值问题
例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______
一个动点 特点：
已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一
动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。
思路：
解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，
连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点
满足最值的位置。
考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等
边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称
点就在这个图形上 。
3 2p
练习 1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2， 当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°
B.22.5°
C.30°
D. 45°
2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，
BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，△APD中AP边上的高为 _________
3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上 的一动点，则PA+PC的最小值是________
两个动点（一）
特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，
分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。
思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称
点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同
一直线上来解决。
例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
RQPOB A "P"PE F 例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
解析：
" P " P 连接 与OB，OA的交点即为R、Q 过OB作P的对称点 " P连接 O " P， O " P" P过OA作P的对称点 90° ° " P " P ∴△PQR周长的最小值= = 2 10O " P = O " POP= " P " P由对称性知：
PR+PQ+RQ= " P " P∠ O = =10 ｛
练习 1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内 部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30°
B.45°
C.60°
D.90°
2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2， 若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）
A．2√6
B.6
C. √6/2
D. √6
两个动点（二）
特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共
线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距
离和最小值。
。
思路：（1 1 ）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动
点的对称点与定点的连线段上（ 两点之间线段
最短 ）
例
、 如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ （ 2 2 ）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例
、 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ C D M B N A "NC B D "NM N A 解析：
作点N关于AD的对称点 "N此时BM＋MN＝BM＋M "N要使BM＋M
"N 最小 则要满足：① B，M， 三点共线 "NBM+MN的最小值＝ B
=AB ∴ ÷ ４
②B 垂直于 AC "N"N
练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．
小结
以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线” （1）确定被“搬”的点 （2）确定被“移”的线
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。
A B C D
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发， 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动，当点P在AD上运 动时，设运动时间为t，求当t为何值 时，四边形APCB为平行四边形.
P 问题导入 A B C D P 解析 6 t ∵四边形APCB为平行四边形 ∴
AP=6
t=6
动点构成特殊图形解题方法
4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，
找出等量关系列出方程来解决动点问题
2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意
的图形——— 化动为静 3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决
问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来
1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状
态时几何元素的关系，以及可求出的量
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5
，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 请说明理由.
3例题讲解
（1）求证：AE=DF
解析：
A EDFt 2t t C B 又∵AE=t，∴AE=DF。
在△DFC中， ∵∠DFC=90 o o ，∠C= 30 o o ， DC=2t, ∴DF=t
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. A EDFt 2t t C B 解析：
能，理由如下， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形AEFD为平行四边形。
由（1）知AE=DF ∴AE
DF 在Rt△ABC中， 设AB=x,
则AC=2x, ∵
解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.
∴若使平行四边形AEFD为菱形， 则须AD=AE，即t= 10
-2t,
t=
即当t=
时，四边形AEFD为菱形。
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
331031010- - 2t
2 2 2AB BC AC 2225 3 2 X X ∴ ∥
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B
若∠EDF=90 o 时，则四边形EBFD为矩形
30 o o
10- - 2t
解析 在Rt△AED中， ∵∠ADE=∠C=30 o ,
∴AD=2AE 即10-2t=2t,t= 30 o o
①当∠EDF=90 o 时 1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
即10-2t=
t （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B ②当∠DEF=90 o 时 解析：
由（2）知EF∥AD ∴∠ADE=∠DEF=90 o
∵∠A=90 o -∠C=60 o
∴AD=
AE 2121则t=4 10- - 2t
30 o o
60 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
F（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. ③当∠EFD=90 o 时, 此种情况不存在。
解析：
1单位/ s 2单位/ s 5 30 o o
综上所述，当t= 25或t=4时△DEF为直角三角形 A EDC B 30 o o
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
小结
篇四：两动一定最小值问题的方法
热点问题 ” 双动点问题 ” 的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是 “ 谈动色变 ” ，选择直接放弃的更是大有人在。
解决动点问题，大家一定不要被其 “ 动 ” 所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力， “ 动 ” 中求 “ 静 ” ，化 “ 动 ” 为 “ 静 ” ，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。
动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。
一. . 不关联双动点问题
对于不关联的双动点问题，我们采用 “ 控制变量法 ” ，我们先控制其中一个点不 动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。
我们先来看一道例题：
例 例 1. 如图，C RT△ABC 中， AC=3， ， AB=4， ，D D、 、E E 分别是 AB、 、C AC 上的两个动点，将 △ADE沿着 E DE 翻折，A A 点落在 A′ 处，求 C A′C 的最小值。
【简答】首先，我们固定 D D 点不动，使 E E 点动起来，随着 E E 点的运动， A′ 始终在以 D D 为圆心，A DA 为半径的圆上运动（如图 1 1 ），
图 图 1 1
只有当 C C 、 A′ 、D D 三点共线时，C A′C 是最短的（如图 2 2 ）；
图 图 2 2
然后我们让 D D 点也动起来，随着 D D 点的运动，圆 D D 的半径会发生 变化，圆的半径越大，离 C C 点就越近，因此，当 D D 与 与 B B 重合时，圆离 C C 点的距离最近，再，移动 E E 点，使得 A′ 落在 C BC 上，此时 C C 、 A′ 、D D 三定共线（如图 3 3 ）， CA′ 最小为 5 5− − 4=1.
图 图 3 3
二. . 多动点联动问题
对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。（原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息）
如下面这道天津中考题的最后一问。
例 例 2. 在平面直角坐标系中，四边形 C AOBC 是矩形，点 O O 的坐标为（0 0 ，0 0 ），点 A A的坐标为（5 5， ，0 0 ），点 点 B B 的坐标为（0 0， ，3 3）
）. . 以点 A A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC ，得到矩形 ADEF ，点 O O ，B B ，C C 的对应点分别为 D D ，E E ，F F ．
（1 1 ）如图 ① ，当点 D D 落在 C BC 边上时，求点 D D 的坐标. .
（2 2 ）如图 ② ，当点 D D 落在线段 E BE 上时，连接 AB ，D AD 与 与 C BC 交于点 H.
① 求证：
△ADB≌△AOB ；
② 求点 H H 的坐标. .
（3 3 ）记 K K 为矩形 C AOBC 对角线的交点，S S 为E △KDE 的面积，求 S S 的取值范围（直接写出结果即可）. .
例 例 3. 直线 l l 外有一点 D D ，点 D D 到直线的距离为 3 3 ，让腰长为 2 2 的等腰直角三角板C ABC 在直线 l l 上滑动，则 则 D AD+CD 的最小值为
. .
练习反馈: 1.
点 点 P P 是∠B AOB 内部一点，在 A OA 上找到一点 M M ，B OB 上找到一点 N N 使得三角形N PMN 的周长最小
2.
如图所示，点 P P 是∠B AOB 内任意一点， OP=5cm ，点 M M 和点 N N 分别是射线 A OA 和射线 B OB 上的动点，△N PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠B AOB 的度数是（
）
3.
如图所示，已知点 C C （1 1 ，0 0 ），直线 y= ﹣7 x+7 与两坐标轴分别交于 A A ，B B 两点，D D ，E E 分别是 AB ，A OA 上的动点，则E △CDE 周长的最小值是 ________ ．
4 4. .
如图，已知直线2 1 //ll ，直线之间的距离为 8 8 ，点 P P 到直线1l 的距离为 6 6 ，点 Q Q到直线2l
的距离为 4 4 ， PQ= 30 4 ，在直线1l 上有一动点 A A ，直线2l 上有一动点 B B ，满足 AB ⊥2l ，且 Q PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=
5 5. .
如图，∠ AOB=30 °，点 M M 、N N 分别在边 OA 、B OB 上，且 OM=1 ， ON=3 ，点 P P 、Q Q分别在边 OB 、A OA 上，则 N MP+PQ+QN 的最小值是 _____ ．
6 6. .
如图，在等边三角形 C ABC 中， BC=6cm ．射线 AG ∥ BC ，点 E E 从点 A A 出发沿射线G AG 以 以 s 1cm/s 的速度运动，同时点 F F 从点 B B 出发沿射线 C BC 以 以 s 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t.
（1 1 ）连接 EF ，当 F EF 经过 C AC 边的中点 D D 时，求证：△ ADE ≌△ CDF ；：
(2)①当 当 t t 为s ______s 时，四边形 E ACFE 是菱形；
②当 t t 为s ______s 时，以 A A 、F F 、C C 、E E 为顶点的四边形是直角梯形．
7 7. .
在菱形 D ABCD 中，∠ B=60 °，点 E E 在射线 C BC 上运动，∠ EAF=60 °，点 F F 在射线 线 D CD 上
（1 1 ）当点 E E 在线段 C BC 上时（如图 1 1 ），求证：
EC+CF=AB ；
（2 2 ）当点 E E 在 在 C BC 的延长线上时（如图 2 2 ），线段 EC、 、 CF、 、B AB 有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明．
8.
如图 1 1 ，二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的图象过点 A A （3 3 ，0 0 ），B B （0 0 ，4 4 ）两点，动点P P 从 从 A A 出发，在线段 B AB 上沿 B A→B 的方向以每秒 2 2 个单位长度的速度运动，过点P P 作 作 y PD⊥y 于点 D D ，交抛物线于点 C C ．设运动时间为 t t （秒）．
(1) 求二次函数 y= ﹣x x2 2 c+bx+c 的表达式；
(2) 连接 BC ，当 t= 时，求P △BCP 的面积；
(3) 如图 2 2 ，动点 P P 从 从 A A 出发时，动点 Q Q 同时从 O O 出发，在线段 A OA 上沿 A O→A 的方向以 1 1 个单位长度的速度运动．当点 P P 与 与 B B 重合时 ，P P 、Q Q 两点同时停止运动，连接 DQ， ， PQ ，将Q △DPQ 沿直线 C PC 折叠得到 △DPE ．在运动过程中，设E △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S S ，直接写出 S S 与 与 t t 的函数关系及 t t 的取值范围．
篇五：两动一定最小值问题的方法
识引入 如图，已知动点P 在直线L 上运动，点M 、N 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 分析：根据三角形两边之和大于第三边易知，当且仅当P P 、M M 、N N
三点共线时 |PM|+|PN| 取最小值
为 为|MN| 例：直线L ：y=x ，点M(1,3) 、点N(2,1) 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 答案：5
思考：当 当M 、N 在直线L 同侧时又该如何 ？
答案：5 结论：在平面中，直线上动点 与异侧两定点距离和有最小值， 当且仅当三点共线取得最小值，最小值为两定点 间的距离
当定点为同侧时，先做出其中一点的对称点， 再利用三点共线求最小值 比如把点M 改为（3,1 ）
理论迁移— 空间几何 探究：
这也是直线上的动点与两定点距离和最小值问题， 是否能将空间问题转化为平面问题 ？
分析：
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何 答案：
74变式：蚂蚁爬行问题
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 探究：
如果把抛物线看成直线，就变成直线上的动点与同侧两定点距离和最小值问题， 如何将同侧关系转化为异侧关系 ？
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 分析：
如图，利用抛物线定义，可以将焦半径|PF| 转化为|PH| ，故最小值为点 点M 到准线的距离 答案：4
理论迁移— 圆锥曲线 变式：
如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，过P 点作x=-1 的垂线段为PH, 点M(2,4),求 求|PM|+|PH| 的最小值 答案：
17
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